Quizás la clave era indicar todas las medidas de los rectángulos en función de una misma incógnita x.
¿Cómo? Podemos partir primero de la base de que en todo rectángulo la suma de su base y de su altura es la mitad del perímetro, ya que si sumamos la otra base y la otra altura tenemos el perímetro completo...
2b + 2h = perímetro ... 2 (b+h) = perímetro ... b + h = perímetro / 2
Por tanto si tomamos el primer rectángulo y llamamos x a la base, la altura (h) será 20 - x, es decir lo que le falta a x para sumar 20, que es la mitad del perímetro.
Si observamos el rectángulo, y de manera evidente los otros dos lados del rectángulo serán x y 20 - x.
Pasemos al rectángulo de perímetro 50: la base es x también, por lo que su altura será 25 - x.
Pasemos al rectángulo de perímetro 24: La altura es también 20 - x, por lo que la base es lo que le falta hasta 12 (mitad del perímetro)...
12 - (20 - x) = - 8 + x es decir, x - 8.
12 - (20 - x) = - 8 + x es decir, x - 8.
Del último rectángulo de perímetro 34 obtenemos los datos del resto de rectángulos...
Ahora podemos obtener una expresión algebraica para el Perímetro y el Área del rectángulo grande...
Perímetro total = 2(20 - x) + 2(25 - x) + 2(x - 8) + 2x = 40 - 2x + 50 - 2x + 2x -16 + 2x = 74
Área total = Btotal · Htotal = (2x - 8)·(45 - 2x) = 90x - 4xexp2 - 360 + 16x = - 4xexp2 + 106x - 360
Como podéis observar en la expresión del Perímetro total se anulan las x... quiere decir que da igual cual sea el valor de x, el perímetro siempre será 74 cms.
Las soluciones posibles para que no salgan números negativos, o se anule alguno de los rectángulos, van de x=9 a x=19, por tanto hay 11 posibles soluciones...
Por ejemplo... x = 9
Comprobamos que el perímetro suma 74.
El área es 10 ·27 = 270 cm2, que se obtiene también mediante la expresión anterior...
Área Total = - 4xexp2 + 106x - 360
Área Total = - 4·9exp2 + 106·9 - 360 = - 324 + 954 - 360 = 270 cm2
Y LOS GANADORES DE ESTA SEMANA HAN SIDO...
SECCIÓN ADULTOS: CARMEN BORRÁS.
SECCIÓN ALUMNOS: ÁNGEL FERRER, RAFA RIPOLL.
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