GANADORES FINALES DEL RETO MATEMÁTICO

Y esta es el podium final de los participantes de esta primera edición del RETO MATEMÁTICO:

SECCIÓN ADULTOS:
1. CARMEN BORRÁS (24 PUNTOS)
2. RUBÉN ESPINOSA (12 PUNTOS)
3. ANA NATEK (9 PUNTOS)

SECCIÓN ALUMNOS:
1. ÁNGEL FERRER (24 PUNTOS)
2. RAFAEL RIPOLL (18 PUNTOS)

Enhorabuena y gracias a todos por participar. Los dos ganadores tendrán su obsequio en la cena final de curso.

Solución RETO 14

Ahí va la solución al último reto...

Solo hay que restar a la superficie del círculo mayor los cuatro cículos interiores. De los interiores, los dos grandes, tienen una superficie de S = p·r² , S = p·1,5² = 7,069.

De los interiores pequeños podemos observar que en el centro cabe otro círculo de las mismas dimensiones, por tanto, el radio es un tercio del radio de la círculo grande.

Su superficie por tanto será S = p·1² = 3,142

La superficie buscada será:

S_sombreada = S_{círculogrande} – 2·S_{círculointeriorgrande} – 2·S_{círculointeriorpequeño}

S_sombreada = p·3² – 2·7,069 – 2·3,142 = 28,274 – 14,138 – 6,284 = 7,852 m²

Y LOS GANADORES DE ESTA ÚLTIMA SEMANA SON…

SECCIÓN ALUMNOS: Ángel Ferrer.

ÚLTIMO RETO DEL CURSO: El Mosaico

Tenemos un mosaico circular con un diseño como el de la figura, en el que la parte sombreada es de cerámica. El radio del mosaico es de 3m. ¿Cuál es la superficie de cerámica que hay en el mosaico?

Solución RETO 13

Os trascribimos la respuesta de Ángel Ferrer de 4º de ESO:

Para saber lo que come un oso comparado con un mono…

170:17=10

Quiere decir que 1 oso come como 10 monos.

Para saber lo que come un mono comparado con una musaraña…

100.000:50=2.000 musarañas comen como 1 mono.

Si 4 elefantes comen como 10 osos entonces 4·3=12 elefantes comen como 10·3=30 osos.

1·30=30 osos comen como 10·30=300 monos 

1·300=300 monos comen como 2.000·300=600.000 musarañas

Por lo tanto 12 elefantes comen como 600.000 musarañas

Y LOS GANADORES HAN SIDO...

ADULTOS: Carmen Borrás
ALUMNOS: Ángel Ferrer, Rafael Ripoll

RETO 13: Musarañas

La musaraña es un pequeño mamífero semejante a un ratón, pero con el hocico más largo y puntiagudo.

Sabemos que 17 osos comen tanto como 170 monos; 100.000 musarañas tanto como 50 monos; 4 elefantes comen lo mismo que 10 osos. ¿Cuántas musarañas son necesarias para acabar con la comida de 12 elefantes?

Solución RETO 12

Las apariencias engañan. Es la frase que puede resumir la incoherencia presentada en este reto...

La afirmación expresada en el enunciado del reto supone que las figuras de los dos triángulos son idénticas, pero no lo son...

La hipotenusa de los triángulos rectángulos no corta la cuadrícula de manera exacta, es decir, no pasa por los vértices de los cuadrados de la cuadrícula, por lo que al "trasponer" las figuras internas cambian de superficie, produciendo el efecto de que "sobra" un cuadrado.

Reproducir los triángulos en un programa de dibujo de precisión como AUTOCAD, nos permite ampliar la realidad, el detalle y comprobar el error cometido...

 En el primer triángulo vemos que "sobra" otro pequeño triángulo (rojo) junto a la hipotenusa que hace que las medidas supuestas de los triángulos interiores no sea de 8 y 3, y 5 y 2.

 

 

 En el siguiente triángulo observamos con claridad que al polígono amarillo le falta un triángulo y que las medidas supuestas de 8 y 3, 5 y 2, tampoco son las reales...

 
A veces suponemos cosas, que no son exactamente ciertas, y nos llevan a sacar conclusiones erróneas, que no tienen sentido. Ésta conclusión matemática bien nos valdría para cada día de nuestra vida, y es que, como ya sabemos, las matemáticas están presentes y relacionadas con todo.

A PESAR DE QUE ALGUNOS LO HABÉIS INTENTADO NO HAY GANADORES PARA ESTA SEMANA DEL RETO.

RETO 12: ¡Algo falla!

Martin Gardner fue un divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense, muy popular por sus libros de matemática recreativa. Propuso una serie de afirmaciones erróneas, donde el “reto” era descubrir en que punto del desarrollo matemático se producía el error, que daba lugar por tanto a una afirmación errónea, como por ejemplo que 8 es igual que 80.

“No conozco una manera mejor para que los profesores de matemáticas de secundaria hagan percibir a sus alumnos la importancia del rigor deductivo, que desafiar a la clase a que descubran dónde reside la falacia en cada una de estas demostraciones”

Esta semana, como reto matemático, os proponemos a descubrir el error en la siguiente situación:

Cuando se recomponen las piezas en que puede descomponerse el triángulo de 13u de base y 5u de altura, resulta que sobra un cuadrado, como muestra la figura.

A darle al coco chavales!

Solución RETO 11

No todo es tan complejo como parece, la solución a la ecuación es muy sencilla, y es x=1. Lo podéis comprobar fácilmente.

LOS GANADORES DE ESTA SEMANA HAN SIDO:

SECCIÓN ADULTOS: CARMEN BORRÁS
SECCIÓN ALUMNOS: RAFAEL RIPOLL, ÁNGEL FERRER

RETO 11: Resuelve la ecuación

Calcula el valor de x que da solución a la siguiente ecuación...

Solución RETO 10

Transcribimos literalmente la solución enviada por Carmen Borrás que es la ganadora de esta semana... está perfecta.

En cada lado del poliedro, después de cortar las esquinas quedan cuadrados, cuyo lado es:

3² + 3² = X²

18 = X²

4.24 cm = X

El lado del cuadrado mide 4.24, por tanto, el área del cuadrado es 18 cm² , si el poliedro tiene 6 caras el área de estas caras es 18 · 6 = 108 cm²

El área de la superficie triangular que queda al cortar las esquinas del cubo es:

4.24² = X² + 2.12²

18 = X² + 4.5

18-4.5 = X²

X = 3.67 cm

Área de este triángulo:

4.24 x 3.67 x ½ = 7.78 cm²

El poliedro tiene 8 triangulos como el anterior que resultan de cortar las esquinas del cubo su área será:

7.78 x 8 = 62.24 cm²

Por tanto el área total del poliedro resultante será:

108 + 62.24 = 170.24 cm²

El volumen total del cubo es : 6 x 6 x 6 = 216 cm³

El volumen de las esquinas que cortamos es el volumen de una pirámide triangular multiplicado por el número de esquinas del cubo:

Volumen de la pirámide triangular = ⅓ x área de la base x altura

⅓ x 3 x 3 x ½ x 3 = 4.5 cm³

4.5 x 8 = 36m³

(Añadimos que se puede observar que con seis esquinas formamos un cubo de 3 cm de arista y cuyo volumen es 27 centímetros cúbicos, por tanto cada esquina tendrá un volumen de 27/6 que es 4,5 cm³)

Por tanto el volumen  total del poliedro es el volumen el cubo menos el volumen de las 8 pirámides triangulares que cortamos:

216 – 36 = 180 cm³

El poliedro resultante se llama CUBOCTAEDRO.

RETO 10: Uno de poliedros

Calcula el área y el volumen del poliedro resultante de cortar las esquinas de un cubo por la mitad de sus aristas que miden 6 cm. ¿Cómo se llama el poliedro obtenido?

Solución RETO 9

Hola a todos! Es la primera semana que nadie ha podido resolver el reto, y este tenía complejidad, lo reconozco, hasta los habituales os habéis quedado atascados...

Os comento el proceso a seguir para llegar a la solución...

Los criterios de divisibilidad de 13, 11 y 7 son relativamente complejos para poder combinarlos entre sí.

Por otro lado para que un número sea divisible por 2 y 5, dicho número ha de acabar en 0. Ese es el primer dato que obtenemos, nuestro número acaba en 0. Para que sea divisible entre 3 la suma de sus cifras ha de ser múltiplo de tres, así que nuestro número será divisible entre tres, coloquemos como coloquemos las cifras, ya que 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45.

Nos podemos quedar atascados en hacer que nuestro número contenga todas las cifras sin repetirse y hacer que sea divisible entre 7, 11 y 13.

Otra manera de enfocarlo es la siguiente: queremos un múltiplo de 7, 11 y 13 que contenga todas las cifras y acabe en 0.

Si multiplicamos 7 por 11 y por 13 nos da como resultado 1001, por tanto el número que buscamos es múltiplo de 1001. Para asegurar que acaba en 0 podemos multiplicar 1001 por 10, y tendremos que el número que buscamos es múltiplo de 10.010

Nuestro número tiene 10 cifras, por tanto, tenemos que multiplicar 10.010 por un número de 6 cifras para que el resultado sea un número de 10 cifras.

Al empezar a multiplicar números de seis cifras por 10.010 observamos lo siguiente...

Efectivamente obtenemos números de diez cifras y la última es un 0. Pero si os fijáis en su estructura, siempre se cumple que los dígitos de las tres primeras posiciones coinciden con los tres primeros dígitos del resultado, que los tres siguientes coinciden con los tres últimos del resultado (sin contar el 0), y que la los tres que quedan en el medio son la suma de los tres primeros más los tres segundos... veámoslo en el primer ejemplo anterior...

10010 · 123456 = 1235794560

Podemos afirmar por tanto que todo número de 10 cifras, acabado en 0, y que las tres centrales son el resultado de sumar el número formado por las tres primeras (sin contar el 0) más las tres últimas, será un múltiplo de 2,3,5,7,11,y 13, o lo que es lo mismo, que los tendrá como divisores.

Ahora solo queda buscar números que cumplan la siguiente estructura, para que no se repita ninguna cifra...

ABC + DEF = GHI

y probando obtenemos...

146 + 583 = 729                 157 + 482 = 639          718 + 236 = 954       729 + 135 = 986

Así tenemos en la siguiente tabla 4 posibles soluciones (en rojo) que cumplen todos los condicionantes: que no se repite ninguna cifra y que son divisibles entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13 (en verde), con su comprobación de divisibilidad...

Bonito, verdad? Muy bonito.
Por cierto, los números de 10 cifras que las contienen todas y sin repetirse se llaman número PANDIGITALES, y tienen muchas curiosidades, os invito a investigar sobre ellos...

RETO 9: Bignumber

Bueno, uno de divisibilidad... a repasar reglas!
Busca un número de diez dígitos diferentes que sea divisible por 2, por 3, por 5, por 7, por 11 y por 13.

Solución RETO 8

Si observamos las relaciones dentro del rectángulo llegamos a la conclusión de que podemos formar un cuadrado que mide de lado 2,5 de la siguiente forma...

Por tanto, el cálculo de AP es sencillo, como hipotenusa del triángulo rectángulo APH, donde los catetos miden 2,5 y 7,5...

...siendo la distancia AP = 7,9 redondeando a décimas.

Y LOS GANADORES DE ESTA SEMANA HAN SIDO:

SECCIÓN ADULTOS: CARMEN BORRÁS

SECCIÓN ALUMNOS: RAFA RIPOLL

RETO 8: ¿AP?

Sea ABCD un rectángulo tal que AB=10 cm y BC=5 cm. Sea P un punto interior del rectángulo tal que el ángulo <CPB = 90º y  PB = PC. Calcula la distancia de A hasta P.

Solución RETO 7

Adjuntamos las imágenes enviadas por los tres ganadores de esta semana... ¡enhorabuena! Podéis comprobar que todas suman 101.



Ángel Ferrer



Rafa Ripoll



Carmen Borrás



RETO 7: Objetivo 101

Empieza por la flecha y encuentra un camino que lleve hasta el 101, sumando números de casilla en casilla. No es necesario pasar por todas las casillas, pero no puedes pasar dos veces por la misma.

Solución RETO 6

Antes de nada felicitar a todos los Vicents, Vicentes...
Estas semanas estamos poniendo pocas entradas... solo los retos (estamos de vacaciones!), pero ya nos ponemos las pilas otra vez.
La solución al reto es el número 3762,  y lo habéis obtenido facilmente de diversas maneras teniendo en cuenta los condicionantes del reto... Enhorabuena a todos los acertantes!

LOS GANADORES DE ESTA SEMANA HAN SIDO:

SECCIÓN ADULTOS: CRISTINA PÉREZ.

SECCIÓN ALUMNOS: RAFAEL RIPOLL, ÁNGEL FERRER.

RETO 6: El número misterioso

Perdonad el retraso, pero es que estamos en Pascua y los días son intensos... Ahí va:

Calcula un número de cuatro cifras que cumpla que la suma de los cuadrados de las cifras extremas sea 13, que la suma de los cuadrados de las cifras centrales sea 85 y que si restamos al número original 1089 se obtienen las mismas cifras pero invertidas en cuanto al orden.

¡Vamos, que no es tan difícil!

Solución RETO 5

Aquí tenéis la solución del reto de esta semana...

Quizás la clave era indicar todas las medidas de los rectángulos en función de una misma incógnita x.

¿Cómo? Podemos partir primero de la base de que en todo rectángulo la suma de su base y de su altura es la mitad del perímetro, ya que si sumamos la otra base y la otra altura tenemos el perímetro completo...

2b + 2h = perímetro ...     2 (b+h) = perímetro ...        b + h = perímetro / 2

Por tanto si tomamos el primer rectángulo y llamamos x a la base, la altura (h) será 20 - x, es decir lo que le falta a x para sumar 20, que es la mitad del perímetro.

Si observamos el rectángulo, y de manera evidente los otros dos lados del rectángulo serán x y 20 - x.

Pasemos al rectángulo de perímetro 50: la base es x también, por lo que su altura será 25 - x.

Pasemos al rectángulo de perímetro 24: La altura es también 20 - x, por lo que la base es lo que le falta hasta 12 (mitad del perímetro)...
12 - (20 - x) = - 8 + x    es decir, x - 8.

Del último rectángulo de perímetro 34 obtenemos los datos del resto de rectángulos...

Ahora podemos obtener una expresión algebraica para el Perímetro y el Área del rectángulo grande...

Perímetro total = 2(20 - x) + 2(25 - x) + 2(x - 8) + 2x = 40 - 2x + 50 - 2x + 2x -16 + 2x = 74

Área total = Btotal · Htotal = (2x - 8)·(45 - 2x) = 90x - 4xexp2 - 360 + 16x = - 4xexp2 + 106x - 360

Como podéis observar en la expresión del Perímetro total se anulan las x... quiere decir que da igual cual sea el valor de x, el perímetro siempre será 74 cms.

Las soluciones posibles para que no salgan números negativos, o se anule alguno de los rectángulos, van de x=9 a x=19, por tanto hay 11 posibles soluciones...

Por ejemplo... x = 9

Comprobamos que el perímetro suma 74.

El área es 10 ·27 = 270 cm2, que se obtiene también mediante la expresión anterior...

                                                Área Total = - 4xexp2 + 106x - 360

                                                Área Total = - 4·9exp2 + 106·9 - 360 = - 324 + 954 - 360 = 270 cm2

Y LOS GANADORES DE ESTA SEMANA HAN SIDO...

SECCIÓN ADULTOS: CARMEN BORRÁS.

SECCIÓN ALUMNOS: ÁNGEL FERRER, RAFA RIPOLL.