Solución RETO 9

Hola a todos! Es la primera semana que nadie ha podido resolver el reto, y este tenía complejidad, lo reconozco, hasta los habituales os habéis quedado atascados...

Os comento el proceso a seguir para llegar a la solución...

Los criterios de divisibilidad de 13, 11 y 7 son relativamente complejos para poder combinarlos entre sí.

Por otro lado para que un número sea divisible por 2 y 5, dicho número ha de acabar en 0. Ese es el primer dato que obtenemos, nuestro número acaba en 0. Para que sea divisible entre 3 la suma de sus cifras ha de ser múltiplo de tres, así que nuestro número será divisible entre tres, coloquemos como coloquemos las cifras, ya que 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45.

Nos podemos quedar atascados en hacer que nuestro número contenga todas las cifras sin repetirse y hacer que sea divisible entre 7, 11 y 13.

Otra manera de enfocarlo es la siguiente: queremos un múltiplo de 7, 11 y 13 que contenga todas las cifras y acabe en 0.

Si multiplicamos 7 por 11 y por 13 nos da como resultado 1001, por tanto el número que buscamos es múltiplo de 1001. Para asegurar que acaba en 0 podemos multiplicar 1001 por 10, y tendremos que el número que buscamos es múltiplo de 10.010

Nuestro número tiene 10 cifras, por tanto, tenemos que multiplicar 10.010 por un número de 6 cifras para que el resultado sea un número de 10 cifras.

Al empezar a multiplicar números de seis cifras por 10.010 observamos lo siguiente...

Efectivamente obtenemos números de diez cifras y la última es un 0. Pero si os fijáis en su estructura, siempre se cumple que los dígitos de las tres primeras posiciones coinciden con los tres primeros dígitos del resultado, que los tres siguientes coinciden con los tres últimos del resultado (sin contar el 0), y que la los tres que quedan en el medio son la suma de los tres primeros más los tres segundos... veámoslo en el primer ejemplo anterior...

10010 · 123456 = 1235794560

Podemos afirmar por tanto que todo número de 10 cifras, acabado en 0, y que las tres centrales son el resultado de sumar el número formado por las tres primeras (sin contar el 0) más las tres últimas, será un múltiplo de 2,3,5,7,11,y 13, o lo que es lo mismo, que los tendrá como divisores.

Ahora solo queda buscar números que cumplan la siguiente estructura, para que no se repita ninguna cifra...

ABC + DEF = GHI

y probando obtenemos...

146 + 583 = 729                 157 + 482 = 639          718 + 236 = 954       729 + 135 = 986

Así tenemos en la siguiente tabla 4 posibles soluciones (en rojo) que cumplen todos los condicionantes: que no se repite ninguna cifra y que son divisibles entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13 (en verde), con su comprobación de divisibilidad...

Bonito, verdad? Muy bonito.
Por cierto, los números de 10 cifras que las contienen todas y sin repetirse se llaman número PANDIGITALES, y tienen muchas curiosidades, os invito a investigar sobre ellos...